역제곱 법칙

대부분의 원격력은 거리의 제곱에 반비례한다.

이것이 역제곱 법칙입니다. 그러나 이는 우리가 사는 공간이 3차원이기 때문에 해당합니다. 물론 모든 원격력에 해당하는 것은 아닙니다. "왜 역제곱인가"에 대해서는 에너지 보존법칙 하에서 간단히 설명할 수 있습니다.

우선 뉴턴의 중력법칙의 방정식을 생각해봅시다.

이죠

쿨롬의 법칙은

입니다. 놀랍게도 흡사하죠.

그런데 이 식들은 약식으로 줄여놓은 것입니다.

실제로 뉴턴의 법칙은

쿨롬의 법칙은

이렇게 표기해야 옳습니다. (ρ,ε은 그냥 실험적 상수)

놀랍게도 양쪽이 모두 단순히 에 반비례하는게 아니라, 구의 표면의 넓이 에 반비례한다는 사실을 알 수 있습니다.

다른 모든 가정을 접어두고 힘이 3차원상 모든 방향으로 균질하게 퍼져나간다 할 때 에너지는 보존되기 때문에 한 점에 닿는 힘의 양은(힘의 밀도라고 할까나요?) 3차원의 경우 "1/3차원구 표면의 면적"의 비율로 줄어들 겁니다. 그래서 3차원의 경우이 공통적으로 들어갑니다. 그래서 거리가 되면    의 비율로 힘이 줄어드는 것이고 거리가 가 되면  의 비율로 힘이 줄어드는 겁니다. 이는 쿨롬법칙은 물론이고 빛의 세기 등 3차원 공간으로 균등히 퍼져나가는 모든 경우의 자연현상에 걸맞는 법칙이라 할 수 있겠습니다.

기본적으로 역제곱 법칙은 이렇게 간단한 가정만으로 유추해 볼 수 있습니다. "왜 역제곱 법칙인가?" 는 질문에 대해서는 "단순히 3차원이니까" 라고 답변한다면 크게 틀린 답변은 아닐겁니다. 만약 끈이론이 말하는 것과 같은 여분의 차원이 한개 있다고 가정한다면 (실제의 끈이론에서는 6개를 제안합니다.) 여분의 차원이 감겨있는 것으로 추정되는 매우 짧은 거리에서는 역세제곱 법칙이 성립하게 되겠지요.

반대로 더 적은 차원을 가정해 본다면 세상이 1차원이라면 아무리 멀리 있어도 힘이 줄어들지 않을 것이고 세상이 2차원이라면 힘은 거리에 반비례할 것입니다. 세상이 3차원이기 때문에 거리의 제곱에 반비례하는 것이죠. 그렇다면 뉴턴의 발견은 그다지 놀라운 것도 아니게 되겠습니다마는 이러한 논리에는 간과한 사실 한 가지가 있습니다. 바로 구의 표면 면적을 구하는 수학적 방법 자체를 뉴턴이 개발해냈다는 사실입니다. 구의 표면 면적은 우리가 경험적으로 암기해서 쓰고 있지만 실제로 유도하는 것은 뉴턴의 중적분 방법을 통해 유도해낼 수 있습니다.

그러나 엄밀히 말해 만유인력 전자기력이 원격력이냐 아니냐에 대해서는 현대물리에서 더 고민해야 될 관점들이기 떄문에 더 엄밀히 말해 역제곱법칙이 옳으냐 그르냐 본질적 의미에서 역제곱 법칙의 의미는 무엇이냐에 대해서는 답변하기 힘들수도 있습니다.