해밀토니안 H와 양자역학 -양자역학

Hamiltonian 방정식

해밀토니안 는 Kinetic energy (흔히 운동에너지로 번역하죠) 와 Potential Energy (위치에너지라고 합니다) 의 합입니다. 운동에너지는 이고 위치에너지는 죠. 운동량으로 편미분하면 x의 미분, 즉 속도가 나오고 x축으로 편미분하면 -p의 미분, 충격량일라나요...하여간 그런게 나옵니다. 위치와 운동량으로 설명하는 역학시스템이죠

  입니다.

간단히 운동량 p=mv를 집어넣어 간략화시킵니다.

로 표시합니다.

그런데 상대성 이론에 따라 해밀토니안 H는

으로 표시되기도 합니다.

파동방정식에 해밀토니안을 집어넣은 것이 바로 슈레딩거 방정식이고 상대론적인 해밀토니안을 제곱하여 집어넣은 것이 바로 클라인 고든 방정식이고 상대론적 해밀토니안을 제곱하지 않고 그냥 집어넣은 것이 디랙방정식입니다.

놀랍게도 상대론적인 양자역학 방정식인 클라인 고든 방정식이 비상대론적인 방정식 슈레딩거 방정식보다 1년 일찍 나왔다는 사실을 아는 사람은 흔치 않습니다. 근데 어떤 책에서는 슈레딩거 방정식이 1년 일찍 나왔다고도 하고 ㅡ_- 써놓고 보니 헷갈립니다. (퍼가신 분들은 어쩐다 ㅡ_-)

최종적으로 나온 상대론적 양자역학인 디랙방정식은 해를 구하기 쉽지 않은데 이를 대충 때워 해결한 세사람이 바로 J.슈윙거, 도모나가 신이치로, 리처드 파인만입니다. (본문에 이름이 나온 사람들은 모두 노벨상을 탔습니다.)

말이 쉽지 이게 뭔소리냐구

알고보면 정말 어처구니없이 간단한 힌트에서 만들어진 방정식들이죠. 물론 슈레딩거는 해밀토니안 H를 양자화시키는 기술을 개발하는데 천재성을 발휘한건 사실입니다. 하여간 얘기하고 싶은 것은 천재들만이 과학을 발전시키지는 않는다는 얘기정도일까요. 슈레딩거는 물론 천재였지만 자신이 만든 방정식이 무얼 의미하는지조차 몰랐습니다.

하지만 문제를 푸는 과정은 상대적으로 매우 어렵습니다 어림값 외에는 계산해 낼 방법이 없습니다. 일반상대론이나 상대론적 양자역학이나 방정식을 짠 이들보다 오히려 해를 구해낸 이들이 더 천재들이 아니었을까요.